Soal Olimpiade Matematika SMP Materi Geometri Lengkap dengan Pembahasan

Selamat datang di artikel ini yang akan memberikan Anda panduan lengkap mengenai Soal Olimpiade Matematika tingkat SMP dengan fokus pada materi Geometri. Olimpiade Matematika merupakan salah satu ajang bergengsi bagi siswa/i SMP yang memiliki minat dan bakat di bidang matematika.

Soal 1

Jika (y – 7), y, dan (y + 1) merupakan sisi-sisi dari segitiga siku-siku dimana y merupakan bilangan bulat positif, maka nilai y yang mungkin adalah …

Pembahasan

Dari soal diperoleh jika sisi miring adalah y + 1, maka

$(y+1)^{2} = (y - 7)^{2} + y^{2}$

$y^{2} + 2y + 1 = y^{2} - 14y + 49 + y^{2}$

$y^{2} + 2y + 1 = 2y^{2} - 14y + 49 $

$y^{2} + 2y + 1 - 2y^{2} + 14y - 49 = 0$

$-y^{2} + 16y - 48 = 0$

$y^{2} - 16y + 48 = 0$

$(y - 12)(y - 4) = 0$

$y = 12$ atau $y = 4$

Untuk y = 4 tidak memenuhi karena 4 - 7 = -3

Jadi, nilai y yang mungkin adalah 12

Soal 2

Jika garis $y = 2x + 2$ dan parabola $y = -x^{2} - 4x - 3$ berpotongan pada titik A dan B, tentukanlah panjang ruas garis AB ...

Pembahasan

Titik potong garis dan parabola

$2x + 2 = -x^{2} - 4x -3$

$x^{2} +6x + 5 = 0$

$(x + 1)(x + 5)=0$

$x = -1$ atau $x = -5$

Substitusi $x = -1$ atau $x = -5$

$y = 2x + 2$

$y = 2(-1) + 2$

$y = 0$ (-1, 0)

$y = 2x + 2$

$y = 2(-5) + 2$

$y = -8$ (-5, -8)

Jarak antara A dan B = $\sqrt{(-8 - 0)^{2}+(-5 - (-1))^{2}}$

               = $\sqrt{64 +16}$

               = $\sqrt{80}$

               = $4\sqrt{5}$

Jadi, jarak antara A dan B adalah $4\sqrt{5}$

Soal 3

Given a line with gradien m through (m, -9) and (7, m). What is the value of m?

Pembahasan

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

$m = \frac{m - (-9)}{7 - m}$

$m(7 - m) = m + 9$

$7m - m^{2} = m + 9$

$-m^{2} + 7m - m - 9 = 0$

$m^{2} - 6m + 9 = 0$

$(m -3)^{2} = 0$

$ m = 3$

Soal 4

Luas daerah yang diarsir pada lingkaran besar adalah 5 kali luas daerah lingkaran kecil. Jika jari-jari lingkaran besar adalah $\frac{4}{\sqrt{\pi}}$. Keliling lingkaran kecil adalah …

Pembahasan

Misalkan jari-jari lingkaran besar = $r_{1}$ dan jari-jari lingkaran kecil = $r_{2}$

Luas Arsiran Lingkaran Besar = 5 kali Luas Lingkaran Kecil

$\pi r_{1}^{2} - \pi r_{2}^{2}= 5\times \pi r_{2}^{2}$

$\pi r_{1}^{2} = 6\times \pi r_{2}^{2}$

$(\frac{4}{\sqrt{\pi}})^{2} = 6 \times r_{2}^{2}$

$\frac{16}{\pi} = 6 \times r_{2}^{2}$

$\frac{16}{5\pi} = r_{2}^{2}$

$r_{2}^{2} = \frac{16}{6\pi}$

$r_{2} = \frac{4}{\sqrt{6\pi}}$

Keliling Lingkaran Kecil $= 2\pi r_{2}$

Keliling Lingkaran Kecil $= 2 \times \pi \times \frac{4}{\sqrt{6\pi}}$

Keliling Lingkaran Kecil $= \frac{8\sqrt{\pi}}{\sqrt{6}}$

Keliling Lingkaran Kecil $= \frac{8\sqrt{\pi}}{\sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ (dirasionalkan)

Keliling Lingkaran Kecil $= \frac{8\sqrt{6\pi}}{6}$

Keliling Lingkaran Kecil $= \frac{4\sqrt{6\pi}}{3}$

Soal 5

Diberikan sebuah persegi panjang ABCD dan layang-layang FAED seperti gambar di bawah. Jika keliling layang-layang FAED adalah $6(\sqrt{x}+\sqrt{y})$  cm, maka nilai $x^2 + y^2$ =  ....

Pembahasan

 

Dari gambar di atas diperoleh

$a^{2} + c^{2} = AE^2$

$b^{2} + c^{2} = (3\sqrt{5})^2$

$b^{2} + d^{2} = (3\sqrt{23})^2$

$a^{2} + d^{2} = (3\sqrt{21})^2$

atau

$b^{2} + c^{2} = 45$

$b^{2} + d^{2} = 207$

$a^{2} + d^{2} = 189$

$b^{2} + c^{2} = 45$

$b^{2} + d^{2} = 207$ -

$c^{2} -  d^{2} = -162$

$a^{2} + d^{2} = 189$

$c^{2} - d^{2} = -162$ +

$a^{2} + c^{2} = 27$

$a^{2} + c^{2} = 3\sqrt{3}$

$AE = 3\sqrt{3}$

keliling layang-layang FAED $= 2(AE + ED)$

keliling layang-layang FAED $= 2(3\sqrt{3} + 3\sqrt{5})$

keliling layang-layang FAED $= 6(\sqrt{3} + \sqrt{5})$

Diketahui keliling layang-layang FAED  adalah $6(\sqrt{x}+\sqrt{y})$ maka, nilai x = 3 dan y = 5

$x^2 + y^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$

Soal 6

Perhatikan soal dibawah ini! Tentukan nilai x!

Pembahasan

Jika.

$\angle ACB = \angle DCE = a$

$\angle FEG = \angle CED = b$

Diperoleh

$a + b + 5x = a + 3x + 4x$

$b = 2x $

$2x + 6x + b = 180^{o}$

$8x + b = 180^{o}$

Substitusi b = 2x

$8x + 2x = 180^{o}$

$10x = 180^{o}$

$x = 18^{o}$

Soal 7

Bayangan titik S(2x – 3y, 5) yang dirotasikan sejauh 90$^o$ searah dengan jarum jam dengan pusat (0, 0) sama dengan bayangan titik T (6, 5x + y) yang dirotasikan sejauh 270$^o$ searah dengan jarum jam dengan pusat (0, 0). Tentukanlah nilai x dan y !

Pembahasan

Titik (x, y) dirotasi  sejauh 90$^o$ searah dengan jarum jam dengan pusat (0, 0), maka bayangannya (y, -x)

Titik (x, y) dirotasi  sejauh 270$^o$ searah dengan jarum jam dengan pusat (0, 0), maka bayangannya (-y, x)

Dengan demikian diperoleh

S'(5, -2x + 3y)

T'(-5x - y, 6)

Karena bayangan S dan T sama, maka

-5x - y = 5 dan -2x + 3y = 6

Eliminasi x

-5x - y = 5    |x2| -10x - 2y = 10 

-2x + 3y = 6 |x5| -10x + 15y = 30 -

                           -17y = -20

                                y = 20/17

Eliminasi y

-5x - y = 5    |x3| -15x - 3y = 15 

-2x + 3y = 6 |x1| -2x + 3y = 6 +

                           -17x = -21

                                x = 21/17

Jadi, nilai x = 21/17 dan y = 20/17

Kami berharap artikel ini akan memberikan referensi dan bahan latihan yang berharga bagi siswa/i, guru, dan pengajar dalam persiapan menghadapi kompetisi matematika dari tingkat nasional hingga internasional.

Share :