Geometri Transformasi: Translasi
Translasi yang akan dibahas dalam artikel ini bukanlah translasi dalam artian penerjemahan suatu bahasa asing. Translasi dalam hal ini merupakan sebuah pergeseran yang merupakan salah satu sub materi Geometri Transformasi. Lebih lanjut, translasi atau pergeseran adalah suatu transformasi yang memindahkan setiap titik dari suatu posisi ke posisi yang baru sepanjang ruas garis dan arah tertentu. Suatu objek yang ditranslasikan memiliki sifat tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran namun hanya mengalami perubahan posisi
Misalkan x, y, a, dan b adalah bilangan real, Translasi titik A(x, y) dengan T(a, b) menggeser absis x sejauh a dan menggeser ordinat y sejauh b, sehingga diperoleh titik A'(x + a, y + b), secara notasi ditulis:
$A(x, y) \overset{T\begin{pmatrix}
a\\ b
\end{pmatrix}}{\rightarrow} A'(x+a, y+b)$
atau
$A \begin{pmatrix}
x\\ y
\end{pmatrix} \overset{\begin{pmatrix}
a\\ b
\end{pmatrix} }{\rightarrow} A'\begin{pmatrix}
x+a\\ y+b
\end{pmatrix} $
Untuk lebih jelanya, perhatikan contoh soal berikut
Contoh 1
Diketahui titik A dengan koordinat (2, 3). Tentukan posisi A apabila ditranslasikan oleh $T\begin{pmatrix}
3\\ 4
\end{pmatrix}$!
Penyelesaian
$A(2, 3) \overset{T\begin{pmatrix}
3\\ 4
\end{pmatrix}}{\rightarrow} A'(5, 7)$
Jadi, posisi A setelah ditranslasi adalah (5, 7)
Contoh 2
Translasi $T\begin{pmatrix}
a\\ b
\end{pmatrix}$ memetakan titik A(1, 3) ke A'(4, -1). Tentukanlah nilai a dan b!
Penyelesaian
$A(1, 3) \overset{T\begin{pmatrix}
a\\ b
\end{pmatrix}}{\rightarrow} A'(1+a, 3+b)$
Sehingga, diperoleh
1 + a = 4
a = 3
dan
3 + b = -1
b = -4
Jadi, nilai a = 3 dan b = -4
Selain titik, translasi dapat dilakukan pada sebuah bangun. Untuk menentukan hasil translasi suatu bangun, kita harus mentranslasikan setiap titik sudut dari bangun tersebut.
Contoh 3
Diketahui segitiga ABC dengan titik sudut A (1, 2), B (3, 4), dan C (5, 7). Tentukan koordinat segitiga ABC jika digeser oleh $T\begin{pmatrix}
-2 \\ 3
\end{pmatrix}$!
Penyelesaian
$A(1, 2) \overset{T\begin{pmatrix}
-2\\ 3
\end{pmatrix}}{\rightarrow} A'(-1, 5)$
$B(3, 4) \overset{T\begin{pmatrix}
-2\\ 3
\end{pmatrix}}{\rightarrow} B'(1, 7)$
$C(5, 7) \overset{T\begin{pmatrix}
-2\\ 3
\end{pmatrix}}{\rightarrow} C'(3, 10)$
Jadi, koordinat segitiga ABC setelah digeser adalah A'(-1, 5), B'(1, 7), dan C'(3, 10)
Apabila titik A(x, y) ditranslasikan dengan $T_{1}$ dilanjutkan dengan translasi $T_{2}$ menghasilkan bayangan A". Hal ini termasuk komposisi transformasi yang merupakan gabungan dari beberapa transformasi. Misalnya kita mempunyai transformasi $T_{1}$ akan dilanjutkan ke $T_{1}$ maka ditulis $T_{2}$ o $T_{1}$
Misalkan x, y, a, dan b adalah bilangan real, Translasi titik A(x, y) dengan T(a, b) menggeser absis x sejauh a dan menggeser ordinat y sejauh b, sehingga diperoleh titik A'(x + a, y + b), secara notasi ditulis:
$A(x, y) \overset{T\begin{pmatrix}
a\\ b
\end{pmatrix}}{\rightarrow} A'(x+a, y+b)$
atau
$A \begin{pmatrix}
x\\ y
\end{pmatrix} \overset{\begin{pmatrix}
a\\ b
\end{pmatrix} }{\rightarrow} A'\begin{pmatrix}
x+a\\ y+b
\end{pmatrix} $
Untuk lebih jelanya, perhatikan contoh soal berikut
Contoh 1
Diketahui titik A dengan koordinat (2, 3). Tentukan posisi A apabila ditranslasikan oleh $T\begin{pmatrix}
3\\ 4
\end{pmatrix}$!
Penyelesaian
$A(2, 3) \overset{T\begin{pmatrix}
3\\ 4
\end{pmatrix}}{\rightarrow} A'(5, 7)$
Jadi, posisi A setelah ditranslasi adalah (5, 7)
Contoh 2
Translasi $T\begin{pmatrix}
a\\ b
\end{pmatrix}$ memetakan titik A(1, 3) ke A'(4, -1). Tentukanlah nilai a dan b!
Penyelesaian
$A(1, 3) \overset{T\begin{pmatrix}
a\\ b
\end{pmatrix}}{\rightarrow} A'(1+a, 3+b)$
Sehingga, diperoleh
1 + a = 4
a = 3
dan
3 + b = -1
b = -4
Jadi, nilai a = 3 dan b = -4
Selain titik, translasi dapat dilakukan pada sebuah bangun. Untuk menentukan hasil translasi suatu bangun, kita harus mentranslasikan setiap titik sudut dari bangun tersebut.
Contoh 3
Diketahui segitiga ABC dengan titik sudut A (1, 2), B (3, 4), dan C (5, 7). Tentukan koordinat segitiga ABC jika digeser oleh $T\begin{pmatrix}
-2 \\ 3
\end{pmatrix}$!
Penyelesaian
$A(1, 2) \overset{T\begin{pmatrix}
-2\\ 3
\end{pmatrix}}{\rightarrow} A'(-1, 5)$
$B(3, 4) \overset{T\begin{pmatrix}
-2\\ 3
\end{pmatrix}}{\rightarrow} B'(1, 7)$
$C(5, 7) \overset{T\begin{pmatrix}
-2\\ 3
\end{pmatrix}}{\rightarrow} C'(3, 10)$
Jadi, koordinat segitiga ABC setelah digeser adalah A'(-1, 5), B'(1, 7), dan C'(3, 10)
Apabila titik A(x, y) ditranslasikan dengan $T_{1}$ dilanjutkan dengan translasi $T_{2}$ menghasilkan bayangan A". Hal ini termasuk komposisi transformasi yang merupakan gabungan dari beberapa transformasi. Misalnya kita mempunyai transformasi $T_{1}$ akan dilanjutkan ke $T_{1}$ maka ditulis $T_{2}$ o $T_{1}$
Contoh 4
Tentukan bayang dari titik A(1, 4) yang digeser oleh $T_{1}$(2, 5) dan dilanjutkan lagi oleh $T_{2}$(-1, 3)!
Penyelesaian
$A(1, 4) \overset{T_{1} \begin{pmatrix}
2\\ 5
\end{pmatrix}}{\rightarrow} A'(3, 9)$
$A'(3, 9) \overset{T_{2} \begin{pmatrix}
-1\\ 3
\end{pmatrix}}{\rightarrow} A''(2, 12)$
Jadi, bayangan dari A adalah A''(2, 12)
Dua contoh berikut akan membahas mengenai translasi pada suatu persamaan garis dan persamaan lingkaran.
Contoh 5
2\\ 5
\end{pmatrix}}{\rightarrow} A'(3, 9)$
$A'(3, 9) \overset{T_{2} \begin{pmatrix}
-1\\ 3
\end{pmatrix}}{\rightarrow} A''(2, 12)$
Jadi, bayangan dari A adalah A''(2, 12)
Dua contoh berikut akan membahas mengenai translasi pada suatu persamaan garis dan persamaan lingkaran.
Contoh 5
Tentukan bayangan garis 3x + 2y - 3 = 0 ditranslasikan oleh T(1, -2)!
Penyelesaian
$(x, y) \overset{T \begin{pmatrix}
1\\ -2
\end{pmatrix}}{\rightarrow} (x', y')$
Sehingga, diperoleh
x' = x + 1 --> x = x' - 1
y' = y + (-2) --> y = y' + 2
Substitusi x dan y ke persamaan awal
3(x' - 1) + 2(y' + 2) - 3 = 0
3x' - 3 + 2y' + 4 - 3 = 0
3x' + 2y' - 2 = 0
Jadi, bayangan garis 3x + 2y - 3 = 0 adalah 3x + 2y - 2 = 0
Contoh 6
Tentukan bayangan llingkaran x$^{2}$ + y$^{2}$ - 4x - 6 = 0 ditranslasikan oleh $T\begin{pmatrix}
2 \\ 1
\end{pmatrix}$!
Penyelesaian
Dari translasi diperoleh
x' = x + 2 --> x = x' - 2
y' = y + 1 --> y = y' - 1
Substitusi x dan y ke persamaan awal
x$^{2}$ + y$^{2}$ - 4x - 6 = 0
(x' - 2)$^{2}$ + (y' - 1)$^{2}$ - 4(x' - 2) - 6 = 0
x'$^{2}$ - 4x + 4 + y'$^{2}$ - 2y' + 1 - 4x' + 8 - 6 = 0
x'$^{2}$ + y'$^{2}$ - 8x' - 2y' + 7 = 0
Jadi, bayangan lingkaran x$^{2}$ + y$^{2}$ - 4x - 6 = 0 adalah x$^{2}$ + y$^{2}$ - 8x - 2y + 7 = 0
1\\ -2
\end{pmatrix}}{\rightarrow} (x', y')$
Sehingga, diperoleh
x' = x + 1 --> x = x' - 1
y' = y + (-2) --> y = y' + 2
Substitusi x dan y ke persamaan awal
3(x' - 1) + 2(y' + 2) - 3 = 0
3x' - 3 + 2y' + 4 - 3 = 0
3x' + 2y' - 2 = 0
Jadi, bayangan garis 3x + 2y - 3 = 0 adalah 3x + 2y - 2 = 0
Contoh 6
Tentukan bayangan llingkaran x$^{2}$ + y$^{2}$ - 4x - 6 = 0 ditranslasikan oleh $T\begin{pmatrix}
2 \\ 1
\end{pmatrix}$!
Penyelesaian
Dari translasi diperoleh
x' = x + 2 --> x = x' - 2
y' = y + 1 --> y = y' - 1
Substitusi x dan y ke persamaan awal
x$^{2}$ + y$^{2}$ - 4x - 6 = 0
(x' - 2)$^{2}$ + (y' - 1)$^{2}$ - 4(x' - 2) - 6 = 0
x'$^{2}$ - 4x + 4 + y'$^{2}$ - 2y' + 1 - 4x' + 8 - 6 = 0
x'$^{2}$ + y'$^{2}$ - 8x' - 2y' + 7 = 0
Jadi, bayangan lingkaran x$^{2}$ + y$^{2}$ - 4x - 6 = 0 adalah x$^{2}$ + y$^{2}$ - 8x - 2y + 7 = 0
Materi Geometri Transformasi lainnya selain Translasi adalah Refleksi, Rotasi dan Dilatasi. Mengenai transformasi lainnya akan dibahas pada artikel lainnya.
Post a Comment for "Geometri Transformasi: Translasi"
Terima kasih atas komentar yang telah anda berikan