Soal Latihan Olimpiade Matematika SMP Materi Statistika dan Peluang Lengkap dengan Pembahasannya
Artikel ini akan membawa Anda dalam perjalanan melalui latihan soal olimpiade matematika yang berfokus pada materi statistika dan peluang. Materi ini merupakan bagian penting dalam kompetisi matematika tingkat olimpiade, yang memerlukan pemahaman mendalam tentang konsep-konsep statistika, probabilitas, dan peluang. Dalam latihan ini, Anda akan diberikan berbagai soal yang dirancang untuk menguji kemampuan Anda dalam menerapkan prinsip-prinsip ini. Kami juga akan menyediakan pembahasan lengkap untuk setiap soal, sehingga Anda dapat memahami dengan jelas solusi yang benar. Mari kita mulai eksplorasi soal-soal menarik ini untuk memperdalam pemahaman statistika dan peluang Anda.
Soal 1
Pada suatu data terdapat 21 bilangan bulat positif. Bilangan terbesar pada data tersebut adalah 16. Media dari data adalah 10. Rata-rata terkecil yang mungkin dari data tersebut adalah ...
A. 4,5
B. 5,0
C. 5,5
D. 6,0
E. 6,5
Pembahasan:
Dari soal maka data yang mungkinagar rata-ratanya menjadi terkecil adalah
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,16
dengan rata-rata
$\bar{x} = \frac{1\times10 +10\times10 + 16}{21}$
$= \frac{10 + 100 + 16}{21}$
$= \frac{126}{21}$
$= 6$
Jadi, rata-rata terkecil yang mungkin adalah 6
Soal 2
Diketahui lima buah bilangan positif yang terurut, yaitu n + 1, n + 2, 2m - 4, 2m - 2, dan m + 4. Rata-rata bilangan tersebut sama dengan jangkauannya dan sama pula dengan mediannya. Nilai m + n adalah ...
A. 5
B. 7
C. 9
D. 11
E. 13
Pembahasan
Dari soal diperoleh rata-rata, jangkauan, dan median
$\bar{x} = \frac{(n + 1) + (n + 2) + (2m - 4) + (2m - 2) + (m + 4)}{5}$
$\bar{x} = \frac{2n + 5m + 1}{5}$
$Jangkauan = (m + 4) - (n + 1)$
$Jangkauan = m - n + 3
$Me = 2m - 4$
Sehingga
$\bar{x} = Jangkauan$
$\frac{2n + 5m + 1}{5} = m - n + 3$
$2n + 5m + 1= 5m - 5n + 15$
$7n = 14$
$n = 2$
$\bar{x} = Jangkauan$
$\frac{2n + 5m + 1}{5} = m - n + 3$
$2n + 5m + 1= 5m - 5n + 15$
$7n = 14$
$n = 2$
$\bar{x}= Me$
$ \frac{2n + 5m + 1}{5}=2m - 4$
$2n + 5m + 1 = 10m - 20$
$2(2) + 5m + 1 = 10m - 20$
$5m = 25$
$m = 5$
Jadi, nilai $m + n = 5 + 2 = 7$
Soal 3
Nilai dari 15 siswa yang berada di rentang 0-10 memiliki median 7, nilai terkecil 1 dan nilai terbesar 10, hitunglah nilai rata-rata terbesar yang mungkin terjadi…
A. 6
B. 7.6
C. 8
D. 8,33
E. 8,6
$ \frac{2n + 5m + 1}{5}=2m - 4$
$2n + 5m + 1 = 10m - 20$
$2(2) + 5m + 1 = 10m - 20$
$5m = 25$
$m = 5$
Jadi, nilai $m + n = 5 + 2 = 7$
Soal 3
Nilai dari 15 siswa yang berada di rentang 0-10 memiliki median 7, nilai terkecil 1 dan nilai terbesar 10, hitunglah nilai rata-rata terbesar yang mungkin terjadi…
A. 6
B. 7.6
C. 8
D. 8,33
E. 8,6
Pembahasan:
Untuk mendapatkan rata-rata terbesar maka nilai 15 siswa itu jika diurutkan menjadi:
1, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 10, 10, 10, 10, 10, 10 ,10
Jadi nilai rata-rata terbesar yang mungkin adalah
$\bar{x} = \frac{1+ 7\times7 + 10 \times 7}{15}$
$\bar{x} = \frac{1 + 49 + 70}{15}$
$\bar{x} = \frac{120}{15}$
$\bar{x} = 8$
Soal 4
Rata-rata nilai 30 siswa laki-laki adalah 80, dan nilai siswa perempuan memiliki rata-rata 85. Bila rata-rata keseluruhannya adalah 82, maka tentukan banyaknya siswa perempuan
A. 10
B. 15
C. 20
D. 25
E. 30
Untuk mendapatkan rata-rata terbesar maka nilai 15 siswa itu jika diurutkan menjadi:
1, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 10, 10, 10, 10, 10, 10 ,10
Jadi nilai rata-rata terbesar yang mungkin adalah
$\bar{x} = \frac{1+ 7\times7 + 10 \times 7}{15}$
$\bar{x} = \frac{1 + 49 + 70}{15}$
$\bar{x} = \frac{120}{15}$
$\bar{x} = 8$
Soal 4
Rata-rata nilai 30 siswa laki-laki adalah 80, dan nilai siswa perempuan memiliki rata-rata 85. Bila rata-rata keseluruhannya adalah 82, maka tentukan banyaknya siswa perempuan
A. 10
B. 15
C. 20
D. 25
E. 30
Pembahasan
Misalkan banyak siswa laki-laki = m dan perempuan = n, dengan rumus rata-rata diperoleh:
$82 = \frac{80 \times 30 + 85\times n}{30+n}$
$82 = \frac{80 \times30 + 85n}{30+n}$
$2460 + 82n = 2400+85n$
$60 = 3n$
$n = 20$
Soal 5
Diketahui lima bilangan yaitu a,b,c,d dan e. rata-rata bilangan a,b,c adalah 8. Jika rata-rata bilangan a,b,c,d dan e adalah bilangan 7,2, jika bilangan e 2 kali lebih besar dari d. maka bilangan d adalah …
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
E. 7
Pembahasan
$\frac{a + b + c}{3} = 8$
$a + b + c = 24$
$e = 2d$
$\frac{a + b + c + d + e}{5} = 7,2$
$\frac{24 + d + 2d}{5} = 7,2$
$24 + 3d = 36$
$3d = 12$
$d = 4$
Soal 6
Terdapat suatu bilangan ganjil yang terdiri dari lima angka berbeda, dimana bilangan tersebut memuat semua angka 1, 2, 4, 6 dan 9. Banyaknya bilangan ganjil tersebut adalah ...
A. 120
B. 48
C. 24
D. 5
E. 4
Pembahasan
Untuk angka terakhir ada 2 pilihan/cara yaitu 1,9
Untuk angka pertama terdapat 4 pilihan angka
Untuk angka kedua terdapat 3 pilihan angka
Untuk angka ketiga terdapat 2 pilihan angka
Untuk angka keempat tinggal 1 pilihan
Sehingga banyak billangan ganjil lima angka yang dapat dibuat = 4 x 3 x 2 x 1 x 2 = 48 bilangan
Soal 7
Berapa probabilitas dari sebuah faktor positif yang diambil secara acak dari 60 adalah kurang dari 7?
A. 1/2
B. 3/4
C. 1/6
D. 12/7
E. 2/12
Pembahasan:
Faktor dari 60 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...., 60}
Faktor prima dari 60 adalah $2^2 \times 3 \times 5$
Sehingga faktor positif dari 60 $= (2+1) \times (1+1) \times (1+1) = 12$
Untuk cara menentukan faktor positif dapat dibaca pada artikel Menentukan Banyak Faktor Positif dari Suatu Bilangan
Faktor positif 60 yang kurang dari 7 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Jadi peluang terambilnya $= \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
Soal 8
Saat penerimaan mahasiswa baru, sekelompok mahasiswa akan berjabat tangan. Setiap mahasiswa tidak boleh berjabat tangan dengan mahasiswa yang sama lebih dari satu kali. Jika dalam sekelompok mahasiswa tersebut terdapat 210 jabat tangan. Banyak orang dalam kelompok tersebut adalah ...
A. 50
B. 46
C. 33
D. 21
E. 10
Pembahasan:
Misalkan jumlah mahasiswa adalah n, maka banyak jabat tangan yang terjadi dapat ditentukan dengan Kombinasi
$C_{2}^{n} = 210$
$\frac{n!}{(n-1)!2!} = 210$
$\frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!2} = 210$
$\frac{n(n-1)}{2} = 210$
$\frac{n^2 - n}{2} = 210$
$n^2 - n = 420$
$n^2 -n - 420 = 0$
$(n - 21)(n + 20) = 0$
$n = 21$ atau $n = -20 $
Untuk n = -20 tidak memenuhi (bilangan negatif), sehingga banyak mahasiswa adalah 21 orang
Soal 9
Bila suatu tim futsal beranggotakan 14 orang, 2 diantaranya merupakan kipper, banyak cara menyusun tim inti yang beranggotakan 5 orang adalah…
A. 495
B. 990
C. 1980
D. 3960
E. 7920
Pembahasan
Banyak cara memilih kiper $= C_{2}^{1} = \frac{2!}{(2-1)!1!} = 2$
Sehingga dari 12 pemain yang tersisa akan dipilih 4 pemain lagi
Banyak cara memilih tim yang lain $=C_{4}^{12}$
$=\frac{12!}{(12 - 4)4!}$
$=\frac{12!}{8!4!}$
$=\frac{12\times11\times10\times9\times8!}{8!\times4!}$
$=\frac{12\times11\times10\times9}{4!}$
$=\frac{11880}{24}$
$=495$
Jadi, banyak cara memilih pemain futsal adalah $=2 \times 495 = 990$ cara
Soal 10
Dua bilangan bulat positif dipilih secara acak dari 9 bilangan bulat positif terkecil. Peluang bilangan bulat yang terambil memiliki rata-rata juga bilangan bulat adalah…
A. 3/11
B. 5/11
C. 4/9
D. 5/9
E. 3/9
Pembahasan
Agar rata-rata dari dua bilangan menjadi bilangan bulat maka jumlah kedua bilangan haruslah genap dengan kata lain dua bilangan yang dipilih haruslah keduanya genap atau keduanya ganjil
9 bilangan bulat positif terkecil $={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$
Banyak cara memilih dua bilangan $=C_{2}^{9}$
$=\frac{9!}{(9-2)!2!}$
$=\frac{9!}{7!2!}$
$=\frac{9\times8\times7!}{7!2!}$
$=\frac{9\times8}{2}$
$=36$
Banyak cara memilih dua bilangan genap $=C_{2}^{4}$
$=\frac{4!}{(4-2)!2!}$
$=\frac{4!}{2!2!}$
$=\frac{24}{4}$
$=6$
Banyak cara memilih dua bilangan ganjil $=C_{2}^{5}$
$=\frac{5!}{(5-2)!2!}$
$=\frac{5!}{3!2!}$
$=\frac{120}{12}$
$=10$
Banyak cara memilih bilangan bulat yang terambil memiliki rata-rata juga bilangan bulat $=6\times 10 = 16$
Peluang bilangan bulat yang terambil memiliki rata-rata juga bilangan bulat $=\frac{16}{36} =\frac{4}{9}$
Misalkan banyak siswa laki-laki = m dan perempuan = n, dengan rumus rata-rata diperoleh:
$82 = \frac{80 \times 30 + 85\times n}{30+n}$
$82 = \frac{80 \times30 + 85n}{30+n}$
$2460 + 82n = 2400+85n$
$60 = 3n$
$n = 20$
Soal 5
Diketahui lima bilangan yaitu a,b,c,d dan e. rata-rata bilangan a,b,c adalah 8. Jika rata-rata bilangan a,b,c,d dan e adalah bilangan 7,2, jika bilangan e 2 kali lebih besar dari d. maka bilangan d adalah …
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
E. 7
Pembahasan
$\frac{a + b + c}{3} = 8$
$a + b + c = 24$
$e = 2d$
$\frac{a + b + c + d + e}{5} = 7,2$
$\frac{24 + d + 2d}{5} = 7,2$
$24 + 3d = 36$
$3d = 12$
$d = 4$
Soal 6
Terdapat suatu bilangan ganjil yang terdiri dari lima angka berbeda, dimana bilangan tersebut memuat semua angka 1, 2, 4, 6 dan 9. Banyaknya bilangan ganjil tersebut adalah ...
A. 120
B. 48
C. 24
D. 5
E. 4
Pembahasan
Untuk angka terakhir ada 2 pilihan/cara yaitu 1,9
Untuk angka pertama terdapat 4 pilihan angka
Untuk angka kedua terdapat 3 pilihan angka
Untuk angka ketiga terdapat 2 pilihan angka
Untuk angka keempat tinggal 1 pilihan
Sehingga banyak billangan ganjil lima angka yang dapat dibuat = 4 x 3 x 2 x 1 x 2 = 48 bilangan
Soal 7
Berapa probabilitas dari sebuah faktor positif yang diambil secara acak dari 60 adalah kurang dari 7?
A. 1/2
B. 3/4
C. 1/6
D. 12/7
E. 2/12
Pembahasan:
Faktor dari 60 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...., 60}
Faktor prima dari 60 adalah $2^2 \times 3 \times 5$
Sehingga faktor positif dari 60 $= (2+1) \times (1+1) \times (1+1) = 12$
Untuk cara menentukan faktor positif dapat dibaca pada artikel Menentukan Banyak Faktor Positif dari Suatu Bilangan
Faktor positif 60 yang kurang dari 7 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Jadi peluang terambilnya $= \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
Soal 8
Saat penerimaan mahasiswa baru, sekelompok mahasiswa akan berjabat tangan. Setiap mahasiswa tidak boleh berjabat tangan dengan mahasiswa yang sama lebih dari satu kali. Jika dalam sekelompok mahasiswa tersebut terdapat 210 jabat tangan. Banyak orang dalam kelompok tersebut adalah ...
A. 50
B. 46
C. 33
D. 21
E. 10
Pembahasan:
Misalkan jumlah mahasiswa adalah n, maka banyak jabat tangan yang terjadi dapat ditentukan dengan Kombinasi
$C_{2}^{n} = 210$
$\frac{n!}{(n-1)!2!} = 210$
$\frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!2} = 210$
$\frac{n(n-1)}{2} = 210$
$\frac{n^2 - n}{2} = 210$
$n^2 - n = 420$
$n^2 -n - 420 = 0$
$(n - 21)(n + 20) = 0$
$n = 21$ atau $n = -20 $
Untuk n = -20 tidak memenuhi (bilangan negatif), sehingga banyak mahasiswa adalah 21 orang
Soal 9
Bila suatu tim futsal beranggotakan 14 orang, 2 diantaranya merupakan kipper, banyak cara menyusun tim inti yang beranggotakan 5 orang adalah…
A. 495
B. 990
C. 1980
D. 3960
E. 7920
Pembahasan
Banyak cara memilih kiper $= C_{2}^{1} = \frac{2!}{(2-1)!1!} = 2$
Sehingga dari 12 pemain yang tersisa akan dipilih 4 pemain lagi
Banyak cara memilih tim yang lain $=C_{4}^{12}$
$=\frac{12!}{(12 - 4)4!}$
$=\frac{12!}{8!4!}$
$=\frac{12\times11\times10\times9\times8!}{8!\times4!}$
$=\frac{12\times11\times10\times9}{4!}$
$=\frac{11880}{24}$
$=495$
Jadi, banyak cara memilih pemain futsal adalah $=2 \times 495 = 990$ cara
Soal 10
Dua bilangan bulat positif dipilih secara acak dari 9 bilangan bulat positif terkecil. Peluang bilangan bulat yang terambil memiliki rata-rata juga bilangan bulat adalah…
A. 3/11
B. 5/11
C. 4/9
D. 5/9
E. 3/9
Pembahasan
Agar rata-rata dari dua bilangan menjadi bilangan bulat maka jumlah kedua bilangan haruslah genap dengan kata lain dua bilangan yang dipilih haruslah keduanya genap atau keduanya ganjil
9 bilangan bulat positif terkecil $={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$
Banyak cara memilih dua bilangan $=C_{2}^{9}$
$=\frac{9!}{(9-2)!2!}$
$=\frac{9!}{7!2!}$
$=\frac{9\times8\times7!}{7!2!}$
$=\frac{9\times8}{2}$
$=36$
Banyak cara memilih dua bilangan genap $=C_{2}^{4}$
$=\frac{4!}{(4-2)!2!}$
$=\frac{4!}{2!2!}$
$=\frac{24}{4}$
$=6$
Banyak cara memilih dua bilangan ganjil $=C_{2}^{5}$
$=\frac{5!}{(5-2)!2!}$
$=\frac{5!}{3!2!}$
$=\frac{120}{12}$
$=10$
Banyak cara memilih bilangan bulat yang terambil memiliki rata-rata juga bilangan bulat $=6\times 10 = 16$
Peluang bilangan bulat yang terambil memiliki rata-rata juga bilangan bulat $=\frac{16}{36} =\frac{4}{9}$
Semoga artikel ini telah memberikan manfaat besar dalam mempersiapkan Anda untuk menghadapi kompetisi olimpiade matematika yang menantang. Materi statistika dan peluang adalah aspek penting dalam dunia matematika, dan pemahaman yang mendalam tentangnya akan memberi Anda keunggulan yang besar. Dengan berlatih dan memahami pembahasan setiap soal, Anda dapat meningkatkan kemampuan Anda dalam menyelesaikan masalah-masalah yang melibatkan statistika dan peluang. Teruslah berlatih, dan jangan ragu untuk menjelajahi materi-materi matematika lainnya untuk memperluas pengetahuan Anda. Semoga sukses dalam perjalanan matematika Anda.
Post a Comment for "Soal Latihan Olimpiade Matematika SMP Materi Statistika dan Peluang Lengkap dengan Pembahasannya"
Terima kasih atas komentar yang telah anda berikan