Menentukan Persamaan Garis Singgung Parabola

Seperti yang telah dibahas sebelumnya, ada tiga kemungkinan kedudukan garis terhadap suatu parabola yaitu berpotongan di dua titik, bersinggungan, dan tidak memotong maupun menyinggung. Selanjutnya, dari kedudukan bersinggungan ini ada kalanya kita diminta untuk menentukan persamaan garis singgungnya. Dalam hal ini terdapat tiga kondisi dimana kita diminta untuk menentukan persamaan garis singgungnya yaitu, persamaan garis singgung yang melalui satu titik pada parabola, persamaan garis singgung dengan gradien tertentu, dan persamaan garis singgung yang melalui satu titik di luar parabola.

Persamaan Garis Singgung yang Melalui Suatu Titik Pada Parabola

Yang dimaksud dengan persamaan garis singgung yang melalui satu titik pada parabola adalah dimana kita diminta untuk menentukan persamaan garis singgung parabola yang diketahui melalui satu titik pada parabola. Karena parabola dibedakan oleh letak puncaknya, maka akan dibahas mengenai persamaan garis singgung parabola dengan puncak di $O(0, 0)$ dan persamaan garis singgung parabola dengan puncak $P(a, b)$

Untuk Parabola yang Berpuncak di $O(0, 0)$
Berikut ini adalah rumus untuk menentukan persamaan garis singgung yang melalui $A(x_1, y_1)$ pada parabola yang beruncak di $O(0, 0)$
$y^2 = 4px$ adalah $yy_1 = 2p(x + x_1 )$
$y^2 = -4px$ adalah $yy_1 = -2p(x + x_1 )$
$x^2 = 4py$ adalah $xx_1 = 2p(y + y_1 )$
$x^2 = -4py$ adalah $xx_1 = -2p(y + y_1 )$

Untuk Parabola yang Berpuncak di $P(a, b)$
Apabila parabola memiliki puncak $P(a, b)$, maka rumus untuk menentukan persamaan garis singgung yang melalui titik $A(x_1, y_1)$ pada parabola adalah
$(y - b)^2 = 4p(x - a)$ adalah $(y - b)(y_1 - b) = 2p(x + x_1 - 2a)$
$(y - b)^2 = -4p(x - a)$ adalah $(y - b)(y_1 - b) = -2p(x + x_1 - 2a)$
$(x - a)^2 = 4p(y - b)$ adalah $(x - a)(x_1 - a) = 2p(y + y_1 - 2b)$
$(x - a)^2 = -4p(y - b)$ adalah $(x - a)(x_1 - a) = -2p(y + y_1 - 2b)$

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal dan pembahasan menentukan persamaan garis singgung yang melalui suatu titik pada parabola

Contoh 1
Tentukan persamaan garis singgung parabola $y^2 = -4x$ di titik $(-1, -2)$
Penyelesaian
$y^2 = -4x$ maka $p = 1$
Persamaan garis singgung parabola $y^2 = -4x$ di titik $(-1, -2)$ adalah
$yy_1 = -2p(x + x_1 )$
$y(-2) = -2(1)(x + (-2))$
$-2y = -2(x - 2)$
$y = x - 2$

Contoh 2
Tentukan persamaan garis singgung parabola $(x - 2)^2 = 8(y - 2)$ di titik $(6, 4)$
Penyelesaian
$(x - 2)^2 = 8(y - 2)$ maka $p = 2$
Persamaan garis singgung parabola $(x - 2)^2 = 8(y - 2)$ di titik $(6, 4)$ adalah
$(x - 2)(6 - 2) = 2(2)(y + 4 - 2(2))$
$(x - 2)(4) = 4(y + 0)$
$x - 2 = y$
$y = x - 2$

Persamaan Garis Singgung Parabola dengan Gradien Tertentu

Persamaan garis singgung yang dimaksud adalah persamaan garis singgung parabola yang telah diketahui gradiennya. Misalkan $m$ adalah garis singgung suatu parabola, maka persamaan garis singgung parabolanya dapat ditentukan dengan rumus

Untuk Parabola yang Berpuncak di $O(0, 0)$

$y^2 = 4px$ adalah $y= mx + \frac{p}{m}$

$y^2 = -4px$ adalah $y= mx - \frac{p}{m}$

$x^2 = 4py$ adalah $y= mx - m^2 p$

$x^2 = -4py$ adalah $y= mx + m^2 p$

Untuk Parabola yang Berpuncak di $P(a, b)$

$(y - b)^2 = 4p(x - a)$ adalah $(y - b) = m(x - a) + \frac{p}{m}$
$(y - b)^2 = -4p(x - a)$ adalah $(y - b) = m(x - a) - \frac{p}{m}$
$(x - a)^2 = 4p(y - b)$ adalah $(y - b) = m(x - a) - m^2 p$
$(x - a)^2 = -4p(y - b)$ adalah $(y - b) = m(x - a) + m^2 p$

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut yang telah disertai dengan pembahasanya

Contoh 3
Tentukan persamaan garis singgung parabola $y^2 = 6x$ yang mempunyai gradien $m = -2$
Penyelesaian
$y^2 = 6x$ maka $p = \frac{3}{2}$
Persamaan garis singgung parabola $y^2 = 6x$ yang mempunyai gradien $m = -2$ adalah
$y= -2x + \frac{\frac{3}{2}}{-2}$
$y= -2x - \frac{3}{4}$

Kadangkala, dalam soal nantinya kita dihadapkan pada masalah yang terkait dengan kedudukan garis terhadap garis lainnya untuk itu kita harus mengingat kembali materi gradien persamaan garis lurus. Berikut ini adalah contoh soalnya

Contoh 4
Tentukan persamaan garis singgung parabola $x^2 - 6x - 2y + 5 = 0$ yang sejajar dengan garis $3x - 4y + 5$
Penyelesaian
Langkah pertama, ubah terlebih dahulu bentuk $x^2 - 6x - 2y + 5 = 0$ menjadi bentuk bakunya
$x^2 - 6x - 2y + 5 = 0$
$x^2 - 6x + 9 = 2y - 4$
$(x - 3)^2 = 2(y - 2)$
Sehingga diperoleh nilai $p = \frac{1}{2}$
Langkah kedua, tentukan gradien $3x - 4y + 5$ yaitu $m_1 = -\frac{3}{-4} = \frac{3}{4}$.Karena garis yang dicari sejajar dengan $3x - 4y + 5$ maka berlaku $m_2 = m_1 = \frac{3}{4}$
Persamaan garis singgung parabola $x^2 - 6x - 2y + 5 = 0$ yang sejajar dengan garis $3x - 4y + 5$ adalah
$(y - b) = m(x - a) - m^2 p$
$(y - 2) = \frac{3}{4}(x - 3) - (\frac{3}{4})^2 (\frac{1}{2})$
$(y - 2) = \frac{3}{4}x - \frac{9}{4} - \frac{9}{32}$
$y = \frac{3}{4}x - \frac{72}{32} - \frac{9}{32} + 2$
$y = \frac{3}{4}x - \frac{81}{32} + \frac{64}{32}$
$y = \frac{3}{4}x - \frac{17}{32}$

Contoh 5
Tentukan persamaan garis singgung parabola $y^2 = -4x$ yang membentuk sudut $60^o$ dengan sumbu x
Penyelesaian
$y^2 = -4x$ maka $p = 1$
Gradien $m = tan 60^o = \sqrt{3}$
Persamaan garis singgung parabola $y^2 = -4x$ yang membentuk sudut $60^o$ dengan sumbu x adalah
$y= mx - \frac{p}{m}$
$y= \sqrt{3}x - \frac{1}{\sqrt{3}}$
$y= \sqrt{3}x - \frac{1}{3}\sqrt{3}$

Persamaan Garis Singgung Parabola yang Melalui Satu Titik di Luar Parabola

Untuk menentukan persamaan garis singgung parabola yang melalui satu titik di luar parabola caranya kurang lebih sama seperti menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui satu titik di luar lingkaran. Langkah-langkah untuk menentukan persamaan garis singgung parabola yang melalui satu titik di luar parabola adalah

Buat persamaan garis yang melalui $A(x_1 , y_1 )$ dengan memisalkan gradiennya m yaitu $y – y_1 = m(x – x_1 )$
Substitusikan y (Persamaan garis yang didapat pada langkah pertama) ke persamaan parabola sehingga diperoleh persamaan kuadrat. Kemudian tentukan nilai diskriminan (D) persamaan kuadrat tersebut
Karena garis menyinggung parabola, maka nilai $D = 0$. Dari D = 0 akan diperoleh nilai gradien $m$. Kemudian substitusikan nilai $m$ ke persamaan garis pada langkah pertama. Sehingga akan didapat persamaan garis yang dicari

Agar mempermudah dalam menyelesaikan masalah atau soal-soal yang dihadapi nantinya, diharapkan juga kita telah memahami cara menentukan persamaan garis lurus. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal yang telah dilengkapi pembahasannya

Contoh 6

Tentukan persamaan garis singgung parabola $y^2 = -4x$ yang melalui titik $(2, 1)$

Penyelesaian

Persamaan garis yang $(-\frac{1}{4}, 1)$

$y – y_1 = m(x – x_1 )$
$y – 1 = m(x - 2)$
$y = mx - 2m + 1$
Substitusi $y = mx - 2m + 1$ ke persamaan parabola $y^2 = -4x$
$(mx - 2m + 1)^2 = -4x$
$m^2 x^2 + 4m^2 + 1 - 4m^2 x +$ $2mx - 4m = -4x$
$m^2 x^2 + 4m^2 + 1 - 4m^2 x +$$ 2mx - 4m + 4x = 0$
$m^2 x^2 - 4m^2 x + 2mx + 4x +$$ 4m^2 - 4m + 1 = 0$
$m^2 x^2 - (4m^2 - 2m- 4)x +$$ (4m^2 - 4m + 1)= 0$
Karena garis menyinggung maka $D = 0$
$b^2 - 4ac = 0$
$(- (4m^2 - 2m - 4))^2 - $$4m^2 (4m^2 - 4m + 1) = 0$
$16m^4 + 4m^2 + 16 - 16m^3 - 32m^2 +$$ 16m - 16m^4 + 16m^3 - 4m^2 = 0$
$-32m^2 + 16 + 16m = 0$
$32m^2 - 16m - 16 = 0$

$2m^2 - m - 1 = 0$

$(2m + 1)(m - 1) = 0$

$m = -\frac{1}{2}$ atau $m = 1$

Jadi, persamaan garis singgungnya

Untuk $m = -\frac{1}{2}$

$y = mx - 2m + 1$

$y = -\frac{1}{2}x - 2(-\frac{1}{2}) + 1$

$y = -\frac{1}{2}x + 2$

Untuk $m = 1$

$y = mx - 2m + 1$

$y = 1x - 2(1) + 1$

$y = x - 1$