Menentukan Determinan Matriks Dengan Ekspansi Kofaktor

Dalam menentukkan determinan suatu matriks persegi kita dapat menggunakkan metode Sarrus (Baca: Menentukan Determinan Matriks Berordo 2x2 dan 3x3). Selain itu, kita juga dapat menggunakan metode Ekspansi Kofaktor. Dengan metode ini, kita dapat menentukan tidak hanya determinan matriks ordo 2×2 atau 3×3 tapi digunakan untuk matriks yang berordo lebih besar lagi seperti, 4×4, 5×5 dan seterusnya.

Namun, apa sebenarnya kofaktor tersebut? Jika kita berbicara kofaktor tentu tidak terlepas dari yang namanya minor. Selain dalam penentuan determinan, kofaktor juga diperlukan dalam menentukkan invers suatu matriks. Untuk lebih jelasnya mengenai Minor dan Kofaktor perhatikan definisi berikut.

Definisi :

Jika A adalah matriks kuadrat, maka minor entri a_ij dinyatakan oleh M_ij dan didefinisikan menjadi determinan submatriks yang tetap setelah baris ke-i dan kolom ke-j dicoret dari A. Bilangan (-1)^i+jM_ij dinyatakan oleh C_ij dan dinamakan kofaktor entri a_ij.

Untuk lebih memahaminnya perhatikan contoh berikut

Tentukkan minor dan kofaktor dari matriks $\begin{pmatrix} 2 & 4 & 6\\ -1 & 1 & 2\\ 3 & 5 & 1 \end{pmatrix}$

Penyelesaian:

Untuk menentukkan minor M11 berarti kita harus menghapus/coret elemen baris pertama dan kolom pertama dan tentukan determinan submatriks hasil penghapusan/coret tadi. Untuk M12, kita hapus elemen baris pertama dan kolom kedua dan mencari determinan submatriks tersebut dan demikian seterusnya
$M_{11}=\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 5 & 1 \end{vmatrix}=1-10=-9$
$M_{12}=\begin{vmatrix} -1 & 2\\ 3 & 1 \end{vmatrix}=(-1)-6=-7$
$M_{13}=\begin{vmatrix} -1 & 1\\ 3 & 5 \end{vmatrix}=(-5)-3=-8$
$M_{21}=\begin{vmatrix} 4 & 6\\ 5 & 1 \end{vmatrix}=4-30=-26$
$M_{22}=\begin{vmatrix} 2 & 6\\ 3 & 1 \end{vmatrix}=2-18=-16$
$M_{23}=\begin{vmatrix} 2 & 4\\ 3 & 5 \end{vmatrix}=10-12=-2$
$M_{31}=\begin{vmatrix} 4 & 6\\ 1 & 2 \end{vmatrix}=8-6=2$
$M_{32}=\begin{vmatrix} 2 & 6\\ -1 & 2 \end{vmatrix}=4-(-6)=10$
$M_{33}=\begin{vmatrix} 2 & 4\\ -1 & 1 \end{vmatrix}=2-(-4)=6$

Sedangkan, kofaktor kita tentukan dengan rumus C_ij= (-1)^i+jM_ij
C₁₁ = (-1)¹⁺¹(-9) = -9
C₁₂ = (-1)¹⁺²(-7) = 7
C₁₃ = (-1)¹⁺³(-8) = -8
C₂₁ = (-1)²⁺¹(-26) = 26
C₂₂ = (-1)²⁺²(-16) = -16
C₂₃ = (-1)²⁺³(-2) = 2
C₃₁ = (-1)³⁺¹(2) = 2
C₃₂ = (-1)³⁺²(10) = -10
C₃₃ = (-1)³⁺³(6) = 6
Minor dan kofaktor sebenarnya hanya dibedakan oleh nilai positif dan negatif saja atau M_ij= ±C_ij. Untuk menentukan kapan nilainya positif dan negatif bisa dilihat dari hasil penjumlahan bari dan kolom (pada pangkat -1 kofaktor) apakah bernilai genap atau ganjil. Jika bernilai genap maka akan berilai positif sedangkan jika ganjil maka bernilai negatif. Sehingga, kita dapat menentukan kofaktor dengan lebih cepat tentunya.

Kembali pada bahasan pokok yaitu menghitung determinan menggunakan metode Ekspansi Kofaktor. Sebelumnya pahami terlebih dahulu Teorema berikut.

Teorema :

Determinan matriks A yang berukuran n x n dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil-hasil kali yang dihasilkan yakni untuk setiap 1 ≤ i ≤ n dan 1 ≤ j ≤ n, maka

det(A) = a_1jC_1j + a_2jC_2j + … + a_njC_nj

(ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j)

atau

det(A) = a_i1C_i1 + a_i2C_i2 + … + a_inC_in

(ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i)

Sebagai contoh kita gunakan matriks $\begin{pmatrix} 2 & 4 & 6\\ -1 & 1 & 2\\ 3 & 5 & 1 \end{pmatrix}$ sebagai matriks A yang akan kita cari determinannya. Dalam hal ini, kita akan menggunakan ekspansi kofaktor baris pertama dan ekspansi kofaktor kolom kedua.

Penyelesaian:
Untuk menentukan determinan matriks A menggunakan ekspansi kofaktor baris pertama berarti rumusnya menjadi
det(A) = a₁₁C₁₁ + a₁₂C₁₂ + a₁₃C₁₃
Sehingga yang kita tentukan terlebih dahulu kofaktor C_11,C_12,dan C₁₃.Namun, karena kita telah menemukannya tadi jadi kita dapat menggunakannya langsung
det(A) = a₁₁C₁₁ + a₁₂C₁₂ + a₁₃C₁₃
= 2(-9) + 4(7) + 6(-8)

= -18 + 28 -48

= -38

Dengan menggunakan kspansi kofaktor kolom kedua

det(A) = a₁₂C₁₂ + a₂₂C₂₂ + a₃₂C₃₂

= 4(7) + 1(-16) + 5(-10)

= 28 -16 - 50

= -38

Untuk menentukan determinan 3x3, 4x4, 5x5 dan seterusnya kita dapat menggunakan metode ini. Namun, mungkin pengerjaannya mungkin akan menjadi lebih panjang.