Skip to content Skip to sidebar Skip to footer
Home / Matematika / Rumus SPLDV Metode Determinan (Aturan Cramer) dan Contohnya

Rumus SPLDV Metode Determinan (Aturan Cramer) dan Contohnya

Post a Comment

Substitusi dan eliminasi punya satu masalah: langkahnya berbeda untuk tiap soal. Anda harus memutuskan variabel mana yang dihilangkan, dikali berapa, dikurangi atau dijumlahkan. Metode determinan atau aturan Cramer menghilangkan semua keputusan itu. Rumusnya tetap, urutannya tetap, dan Anda tinggal mengisi angka.

Metode inilah yang dipakai Kalkulator SPLDV madematika.id. Di artikel ini saya jabarkan rumusnya, asal-usulnya, beberapa contoh, dan situasi ketika rumus ini tidak bisa dipakai.

Ilustrasi kotak dua kali dua dengan diagonal silang yang melambangkan determinan pada aturan Cramer SPLDV


Tiga determinan, dua pembagian, selesai.

Determinan 2 × 2 dalam Satu Menit

Determinan adalah satu angka yang dihitung dari susunan bilangan berbentuk kotak. Untuk kotak 2 × 2 dengan isi p, q pada baris atas dan r, s pada baris bawah, determinannya adalah (p × s) − (q × r). Ingat sebagai "kali silang": diagonal utama dikurangi diagonal lainnya.

Rumus Cramer untuk SPLDV

Misalkan sistem ditulis dalam bentuk baku:

a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂

Maka:

  • D = (a₁ × b₂) − (a₂ × b₁)
  • Dx = (c₁ × b₂) − (c₂ × b₁)
  • Dy = (a₁ × c₂) − (a₂ × c₁)
  • x = Dx ÷ D dan y = Dy ÷ D

Cara mengingat Dx dan Dy: pada Dx, kolom koefisien x (a₁ dan a₂) diganti dengan kolom konstanta (c₁ dan c₂). Pada Dy, kolom koefisien y yang diganti.

Tiga Contoh Soal

Contoh 1

Selesaikan 2x + 3y = 12 dan x − y = 1.

a₁ = 2, b₁ = 3, c₁ = 12, a₂ = 1, b₂ = −1, c₂ = 1.

  • D = (2)(−1) − (1)(3) = −5
  • Dx = (12)(−1) − (1)(3) = −15, sehingga x = −15 ÷ −5 = 3
  • Dy = (2)(1) − (1)(12) = −10, sehingga y = −10 ÷ −5 = 2

Contoh 2

Selesaikan 3x + 2y = 16 dan x − y = 2.

  • D = (3)(−1) − (1)(2) = −5
  • Dx = (16)(−1) − (2)(2) = −20, sehingga x = 4
  • Dy = (3)(2) − (1)(16) = −10, sehingga y = 2

Soal yang sama dikerjakan dengan eliminasi di panduan cara menyelesaikan SPLDV. Silakan bandingkan mana yang terasa lebih ringkas bagi Anda.

Contoh 3 (ada koefisien negatif di ruas kanan)

Selesaikan 4x − 3y = −1 dan 2x + y = 7.

  • D = (4)(1) − (2)(−3) = 4 + 6 = 10
  • Dx = (−1)(1) − (7)(−3) = −1 + 21 = 20, sehingga x = 2
  • Dy = (4)(7) − (2)(−1) = 28 + 2 = 30, sehingga y = 3

Pemeriksaan: 4(2) − 3(3) = −1 dan 2(2) + 3 = 7. Keduanya benar.

Dari Mana Rumus Ini Berasal?

Rumus ini bukan sulap. Ia adalah hasil eliminasi yang dilakukan sekali untuk semua soal. Kalikan persamaan pertama dengan b₂ dan persamaan kedua dengan b₁:

a₁b₂·x + b₁b₂·y = c₁b₂
a₂b₁·x + b₁b₂·y = c₂b₁

Kurangkan keduanya, suku y hilang, dan tersisa (a₁b₂ − a₂b₁)·x = c₁b₂ − c₂b₁. Itulah D·x = Dx. Hal yang sama berlaku untuk y. Jadi determinan hanyalah "eliminasi yang sudah dibakukan". Menurut saya, menunjukkan asal rumus ini ke siswa jauh membantu mereka percaya pada rumusnya, daripada sekadar menyuruh menghafal.

Bagaimana Jika D = 0?

Pembagian dengan nol tidak mungkin, jadi tidak ada solusi tunggal. Ada dua kemungkinan, dan Dx atau Dy yang membedakan:

  • D = 0 dan Dx atau Dy tidak nol: garis sejajar, tidak ada solusi. Contoh: x + y = 2 dan 2x + 2y = 7.
  • D = 0, Dx = 0, dan Dy = 0: garis berhimpit, solusi tak hingga. Contoh: x + y = 2 dan 2x + 2y = 4.

Penjelasan lengkap dengan gambar garisnya ada di artikel SPLDV tanpa solusi dan solusi tak hingga.

Kapan Dipakai, Kapan Tidak?

Determinan sangat enak untuk soal berkoefisien besar atau pecahan, karena Anda tidak perlu mencari pengali yang pas. Namun ada dua catatan dari sisi kelas:

  1. Banyak soal ujian sekolah memerintahkan metode tertentu, misalnya "dengan metode eliminasi". Ikuti perintah soal.
  2. Aturan Cramer adalah pintu masuk ke matriks. Siswa SMA akan bertemu lagi dengannya, dan bentuk 3 × 3 membutuhkan konsep minor dan kofaktor. Untuk itu lihat pengertian minor, kofaktor, matriks kofaktor, dan adjoin matriks. Hasilnya bisa dicek dengan Kalkulator SPLTV.

Sebelum mengisi kalkulator atau rumus, pastikan persamaan sudah berbentuk baku ax + by = c. Banyak salah hitung terjadi di tahap ini, seperti yang saya bahas di kesalahan umum mengerjakan SPLDV.

Latihan

  1. 5x + 2y = 16 dan 2x − y = 1
  2. x + 4y = 14 dan 3x − 2y = 0
  3. 2x + 4y = 6 dan x + 2y = 5 (hati-hati dengan D)
Lihat kunci jawaban
  1. D = −9, Dx = −18, Dy = −27, sehingga x = 2 dan y = 3
  2. D = −14, Dx = −28, Dy = −42, sehingga x = 2 dan y = 3
  3. D = 0 dan Dx = −8 (bukan nol), sehingga tidak ada solusi karena kedua garis sejajar

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apakah aturan Cramer sama dengan metode matriks?

Keduanya berhubungan. Aturan Cramer memakai determinan, sedangkan metode matriks memakai invers atau operasi baris. Hasil akhirnya sama.

Boleh dipakai jika koefisiennya desimal atau negatif?

Boleh. Rumusnya tidak berubah. Cukup hati-hati dengan tanda negatif saat mengalikan.

Apakah ada alat untuk mencoba langsung?

Ada. Masukkan koefisien ke kalkulator SPLDV, lalu bandingkan angka D, Dx, dan Dy dengan hitungan Anda sendiri.

Post a Comment for "Rumus SPLDV Metode Determinan (Aturan Cramer) dan Contohnya"

Terima kasih atas komentar yang telah anda berikan