Kalkulator Sistem Persmaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Kalkulator SPLTV Online

Isi koefisien dari tiga persamaan berbentuk ax + by + cz = d. Nilai x, y, z dan langkahnya muncul seketika.

Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Soal SPLTV terkenal merepotkan karena ada tiga persamaan dan tiga bilangan yang harus dicari sekaligus. Satu kesalahan tanda saja dapat merusak seluruh jawaban. Kalkulator SPLTV dari madematika.id membantu Anda mendapatkan nilai x, y, dan z dengan cepat, lengkap dengan langkah perhitungan determinannya, sehingga Anda bisa memahami prosesnya dan bukan hanya melihat hasil akhir. Alat ini cocok untuk siswa SMA, mahasiswa, dan guru yang ingin memeriksa pekerjaan.

Apa Itu SPLTV?

SPLTV adalah singkatan dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel, yaitu tiga persamaan linear yang memuat tiga variabel, biasanya x, y, dan z. Bentuk bakunya adalah ax + by + cz = d. Secara geometri, setiap persamaan menggambarkan sebuah bidang datar dalam ruang tiga dimensi, dan solusi sistem adalah titik tempat ketiga bidang itu bertemu.

Cara Memakai Kalkulator SPLTV

Ubah ketiga persamaan ke bentuk baku, dengan suku x, y, z di ruas kiri dan konstanta di ruas kanan.
Isi kotak a, b, c, dan d untuk setiap persamaan. Bila suatu variabel tidak muncul, isi koefisiennya dengan 0.
Tekan Hitung x, y, dan z atau tekan Enter di papan ketik.
Baca hasilnya pada kotak hijau, lalu buka Lihat langkah penyelesaian untuk melihat perhitungan determinan dan pemeriksaan jawaban.

Tekan Isi contoh bila Anda ingin mencoba kalkulator dengan data siap pakai.

Rumus SPLTV dengan Aturan Cramer

Kalkulator ini menggunakan aturan Cramer, yaitu metode determinan matriks 3 × 3. Langkahnya selalu sama sehingga mudah dipelajari.

1. Determinan utama (D): susun koefisien a, b, c dari ketiga persamaan menjadi matriks 3 × 3, lalu hitung determinannya.

2. Dx, Dy, Dz: ganti kolom x, kolom y, atau kolom z pada matriks itu dengan kolom konstanta d, lalu hitung determinannya.

3. Nilai variabel: x = Dx ÷ D, y = Dy ÷ D, dan z = Dz ÷ D.

Determinan 3 × 3 dihitung dengan ekspansi kofaktor: a₁(b₂c₃ − b₃c₂) − b₁(a₂c₃ − a₃c₂) + c₁(a₂b₃ − a₃b₂). Syaratnya, D tidak boleh nol agar sistem memiliki satu solusi tunggal.

Contoh Soal dan Pembahasan

Tentukan penyelesaian dari x + y + z = 6, 2x − y + z = 3, dan x + 2y − z = 2.

D = 1(1 − 2) − 1(−2 − 1) + 1(4 + 1) = −1 + 3 + 5 = 7

Dx = 6(1 − 2) − 1(−3 − 2) + 1(6 + 2) = −6 + 5 + 8 = 7, sehingga x = 7 ÷ 7 = 1

Dy = 1(−3 − 2) − 6(−2 − 1) + 1(4 − 3) = −5 + 18 + 1 = 14, sehingga y = 14 ÷ 7 = 2

Dz = 1(−2 − 6) − 1(4 − 3) + 6(4 + 1) = −8 − 1 + 30 = 21, sehingga z = 21 ÷ 7 = 3

Pemeriksaan: 1 + 2 + 3 = 6, 2 − 2 + 3 = 3, dan 1 + 4 − 3 = 2, ketiganya benar. Jadi x = 1, y = 2, z = 3. Kalkulator melakukan pemeriksaan ini otomatis.

Kenapa Hasilnya Tidak Ada Solusi atau Tak Hingga?

Bila D = 0, sistem tidak punya solusi tunggal, dan ada dua kemungkinan. Pertama, tidak ada solusi sama sekali karena persamaan saling bertentangan, misalnya x + y + z = 1 dan x + y + z = 2 muncul bersamaan. Kedua, solusinya tak hingga banyak karena satu persamaan merupakan kombinasi dari persamaan lain, sehingga ketiga bidang berpotongan pada satu garis atau berimpit. Kalkulator ini menentukan jenisnya lewat eliminasi Gauss dan menampilkan pesan yang sesuai, bukan sekadar mengatakan gagal.

Metode Lain untuk Menyelesaikan SPLTV

Selain determinan, SPLTV bisa diselesaikan dengan metode eliminasi, substitusi, atau gabungan keduanya. Pada eliminasi, Anda menghilangkan satu variabel dari dua pasang persamaan sehingga tersisa SPLDV, lalu menyelesaikannya dengan cara biasa. Pada substitusi, Anda menyatakan satu variabel dalam variabel lain lalu memasukkannya ke persamaan berikutnya. Eliminasi Gauss, yang dipakai di aljabar linear, merapikan sistem menjadi bentuk segitiga sehingga cocok untuk sistem yang lebih besar. Semua metode menghasilkan jawaban yang sama; determinan unggul karena langkahnya seragam dan mudah diperiksa.

Penerapan SPLTV dalam Kehidupan Sehari-hari

SPLTV muncul pada banyak soal cerita, misalnya menentukan harga tiga jenis barang dari tiga transaksi pembelian, menghitung komposisi campuran tiga bahan, atau membagi anggaran ke tiga pos pengeluaran. Di bidang teknik dan ekonomi, sistem tiga variabel dipakai untuk menganalisis arus pada rangkaian listrik dan keseimbangan harga. Membiasakan diri menyusun persamaan dari soal cerita jauh lebih penting daripada menghafal rumus, jadi gunakan kalkulator untuk memeriksa hasil setelah Anda mencoba sendiri.

Tips Agar Hasil Perhitungan Tepat

Samakan urutan variabel x, y, z pada ketiga persamaan sebelum mengisi kotak.
Isi 0 untuk variabel yang tidak muncul, jangan dibiarkan kosong.
Periksa tanda negatif, karena sebagian besar kesalahan berasal dari tanda.
Tulis pemisalan x, y, dan z terlebih dahulu pada soal cerita sebelum menyusun persamaan.

Hanya butuh dua variabel? Gunakan Kalkulator SPLDV di madematika.id.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa bedanya SPLDV dan SPLTV?

SPLDV memiliki dua variabel dan dua persamaan, sedangkan SPLTV memiliki tiga variabel dan tiga persamaan.

Apa arti D = 0 pada SPLTV?

Artinya sistem tidak memiliki solusi tunggal: bisa tidak ada solusi atau solusinya tak hingga banyak.

Apakah bisa memakai desimal dan bilangan negatif?

Bisa. Jika semua angka berupa bilangan bulat, hasil ditampilkan sebagai pecahan sederhana beserta nilai desimalnya.

Apakah kalkulator ini gratis?

Ya, gratis dan dapat dipakai di HP maupun komputer tanpa mendaftar.

madematika