Kedudukan Suatu Garis Terhadap Lingkaran

Pada materi sebelumnya kita sudah belajar tentang  posisi titik dan garis terhadap lingkaran serta kedudukan titik terhadap lingkaran secara geometri analitik. Selanjutnya kita akan belajar tentang kedudukan garis terhadap lingkaran. Jika garis sembarang y = mx + c dan L adalah lingkaran dengan jari-jari 𝑟, maka ada tiga kedudukan garis terhadap lingkaran yaitu

• Garis memotong lingkaran pada dua titik
  
  
  
  
  
• Garis menyinggung lingkaran (memiliki 1 titik potong)
  
  
  
• Garis tidak memiliki titik potong terhadap lingkaran 
  
  
  
  
  
  
  

Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran

Langkah-langkah menentukan kedudukan garis terhadap lingkaran

untuk menentukan kedudukan garis terhadap lingkaran langkah-langkahnya sebagai berikut:

1. Pastikan persamaan garis yang diketahui memiliki bentuk umum y = mx + c, jika tidak ubah terlebih dahulu
2. Substitusi 𝑦 dari persamaan garis y = mx + c ke persamaan lingkaran L.
3. Susun persamaan kuadrat sekutu dalam variabel 𝑥 (bentuk $ax^2 + bx + c = 0$)
4. Hitung nilai diskriminan persamaan kuadrat sekutu dengan rumus $D = b^2 - 4ac$
5. Periksa tanda diskriminan 𝐷 dengan kriteria:

• Jika D > 0 maka garis memotong lingkaran pada dua titik.
• Jika D = 0 maka garis menyinggung lingkaran (ada satu titik potong)
• Jika D < 0 maka garis tidak memiliki titik potong dengan lingkaran.

Contoh Soal Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran

Contoh 1

Kedudukan garis y=3x+10 terhadap lingkaran x²+y²=10 adalah ... .

Pembahasan

Substitusi garis y=3x+10 ke persamaan lingkaran x²+y²=10

$x^2 + (3x + 10)^2 = 10$

$x^2 + 9x^2 + 60x + 100 = 10$

$10x^2 + 60x + 90 = 0$

$x^2 +  6x + 9 = 0$

$D = 6^2 - 4\times 1\times 9$

$D = 36 - 36$

$D = 0$ ---> D = 0 (menyinggung lingkaran)

Jadi, kedudukan garis y=3x+10 terhadap lingkaran x²+y²=10 adalah menyinggung lingkaran

Contoh 2

Kedudukan garis x+y=2 terhadap lingkaran x²+y²=10 adalah ... .

Pembahasan

x + y = 2

y = 2 - x

Substitusi y = 2 - x ke persamaan lingkaran x²+y²=10

$x^2 + (2 - x)^2 = 10$

$x^2 + 4 - 4x + x^2 = 10$

$2x^2 - 4x - 6 = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

$D = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-3)$

$D = 4 + 12$

$D = 16$ ---> D > 0 (tidak memotong lingkaran)

Jadi, kedudukan garis x+y=2 terhadap lingkaran x²+y²=10 adalah tidak memotong lingkaran 

Contoh 3

Kedudukan garis y=x+6 terhadap lingkaran $x^2 + y^2 -8x-4y-4=0$ adalah...

Pembahasan

Substitusi garis y=x+6 ke persamaan lingkaran $x^2 + y^2 -8x-4y-4=0$

$x^2 + (x+6)^2 - 8x - 4(x+6) - 4 = 0$

$x^2 + x^2 + 12x + 36 -8x - 4x - 24 - 4 = 0$

$2x^2 + 8 = 0$

$x^2 + 4= 0$

$D = 0^2 - 4 \times 1 \times (4)$

$D = -16$ ---> D < 0 (memotong lingkaran pada dua titik)

Jadi, kedudukan garis y=x+6 terhadap lingkaran $x^2 + y^2 -8x-4y-4=0$ adalah memotong lingkaran pada dua titik

Contoh 4

Kedudukan garis y=2x+9 terhadap lingkaran (x - 3)² + (y + 5)² = 80 adalah...

Pembahasan

Substitusi y = 2x + 9 ke persamaan lingkaran (x - 3)² + (y + 5)² = 80

$(x - 3)^2 + (2x + 9 + 5)^2 = 80$

$x^2 - 6x + 9 + (2x + 14)^2 = 80$

$x^2 - 6x + 9 + 4x^2 +56x + 196 - 80 = 0$

$5x^2 + 50x + 125 = 0$

$x^2 + 10x + 25 = 0$

$D = 10^2 - 4 \times 1 \times 25$

$D = 100 - 100$

$D = 0$ ---> D = 0 (menyinggung lingkaran)

Jadi, kedudukan garis y = 2x + 9 ke persamaan lingkaran (x - 3)² + (y + 5)² = 80 adalah menyinggung lingkaran

Demikian materi kedudukan suatu garis terhadap lingkaran, semoga bermanfaat

Share :