Barisan dan Deret Geometri

Dalam bahasan kali ini, saya akan membahas mengenai barisan dan deret geometri. Untuk itu, terlebih dahulu kita membahas mengenai barisan geometri.

Barisan Geometri

Amatilah ketiga barisan berikut ini.
a. 5, 15, 45, 135,
b. 160, 80, 40, 20,
c. 2, 8, 24, 120.
Pada barisan (a) tampak perbandingan dua suku yang berurutan ($\frac{15}{5}=\frac{45}{15}=\frac{135}{45}=3$)  pada barisan tersebut sama, yaitu 3. Demikian pula barisan (b) memiliki perbandingan yang sama untuk dua suku yang berurutan, yaitu $frac{1}{2}$. Barisan bilangan (a) dan (b) dinamakan barisan geometri. Adapun perbandingan dua suku yang berurutan pada barisan (c) tidak sama. Barisan (c) bukan merupakan barisan geometri.

Barisan geometri adalah Barisan geometri adalah suatu barisan dengan pembanding (rasio) antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Bentuk umumnya adalah 

Jadi, rumus suku ke-n barisan geometri adalah:

Pada barisan geometri, berlaku

Berikut ini, contoh soal barisan geometri beserta penyelesaiaanya.

Contoh 1

Selidiki apakah barisan-barisan berikut merupakan barisan geometri atau bukan!

a. 1, 4, 16, 64, 256

b. 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17

Alternatif Penyelesaian:

a. Barisan geometri karena perbandingan dua suku berurutan sama yaitu 4

b. Bukan barisan geometri karena perbandingan dua suku berurutan tidak sama

Contoh 2

Tentukan suku ke-7 dari barisan geometri 27, 9, 3, . . . .

Alternatif Penyelesaian:

a = 27

r = 9/27 = 1/3

Contoh 3

Tentukan rasio dan suku ke-8 dari barisan 2, 6, 18, 54, ..., 39.366

Alternatif Penyelesaian:

a = 2

$r =  \frac{6}{2}=3$ (ambil dua suku yang berurutan saja)

$U_{8}=2(3)^{8-1}=2(3)^{7}=2(2187)=4374$

Jadi, rasio = 3 dan suku ke-8 = 4.374

Deret Geometri

Nah, selanjutnya kita membahas mengenai deret geometri. Deret geometri adalah suku-suku dari barisan geometri. Bentuk umumnya adalah sebagai berikut:

Untuk mendapatkan jumlah n suku pertama (Sn) deret geometri dapat dilakukan dengan penurunan rumus sebagai berikut:

Jadi,

berikut ini, contoh soal deret geometri beserta penyelesaiannya

Contoh 1

Hitunglah jumlah 9 suku pertama deret geometri 3 + 6 + 12 + . . . !

Alternatif Penyelesaian:

a = 3

r = 2    , r > 1

Contoh 2

Tentukan jumlah 6 suku pertama deret geometri berikut : 2 + (-10) + 50 + (-250) + … 

Alternatif Penyelesaian:

a = 2

$r=\frac{-10}{2}= -5$ ,rasionya kurang dari 1 (r < 1)

$S_{n}=\frac{a(1-r^{n} )}{(1-r)}$

$S_{6}=\frac{2(1-(-5)^{6} }{(1-(-5))}$

$S_{6}=\frac{2(-15624)}{6}$

$S_{6}=-5208$

Jadi, jumlah 6 suku pertamnya adalah -5208

Contoh 3

Pada deret geometri diketahui U_2=6  dan U_5=162 maka tentukanlah jumlah 6 suku pertama!

Alternatif Penyelesaian:

Cara menyelesaikan soal barisan dan deret geometri yang diketahui dua sukunya adalah

Pertama kita tentukan terlebih dahulu suku-suku yang diketahui

$U_{n}=ar^{(n-1)}$    

$U_{2}=6$ →$ar^{1}=6$    

$U_{5}=162$ →$ar^{4}=162$    

Kemudian kita bandingkan kedua suku untuk mendapatkan nilai rasio (r)

$\frac{U_{4}}{U_{2}} = \frac{162}{6}$

$\frac{(ar^4)}{(ar^1 )}=27$

$r^{3}=27$

$r^{3}=3^{3}$

$r=3$

Selanjutnya, mencari suku pertama (a)

$U_{2}=6$ 

$ar^{1}=6$

$a(3)^{1}=6$

$a=\frac{6}{3}$

$a=2$

Untuk mencari jumlah 6 suku pertamanya dapat dilakukan dengan

$S_{n}=\frac{(a(r^{n}-1))}{(r-1)}$

$S_{6}=\frac{(2(3^6-1))}{(3-1)}$

$S_{6}=3^{6}-1$

$S_{6}=729-1$

$S_{6}=728$

Jadi, jumlah 6 suku pertamanya adalah 728

Demikianlah mengenai materi Barisan dan Deret Geometri lengkap dengan contoh soal dan pembahasannya. Semoga bermanfaat dan terima kasih

Share :