Himpunan Bagian dan Himpunan Kuasa

Himpunan Bagian

Himpunan A disebut sebagai himpunan bagian (subset) dari B jika setiap anggota A juga menjadi anggota himpunan B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A lambang yang menyatakan himpunan bagian adalah “Í”. Dengan diagram venn

Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut:

(a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A Í A).

(b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A (Æ Í A).

Dalam himpunan bagian dikenal juga istilah Himpunan Bagian Tak Sebenarnya (Improper Subset) dan Himpunan Bagian Sebenarnya (Proper Subset)

Jika Æ Í A dan A Í A, maka dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A.

Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan Æ adalah improper subset dari A.

A Í B berbeda dengan A Ì B

A Ì B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A ¹ B. A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B.

Contoh: {1} dan {2, 3} adalah proper subset dari {1, 2, 3}

A Í B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B

Apabila banyaknya anggota himpunan adalah n buah, maka banyaknya himpunan bagian dari himpunan tersebut sama dengan 2ⁿ. Banyaknya himpunan bagian juga dapat ditentukan dengan menggunakan segitiga pascal yaitu

		1				Untuk himpunan dengan 0 anggota (n = 0)
		1	1			Untuk himpunan dengan 1 anggota (n = 1)
	1	2	1			Untuk himpunan dengan 2 anggota (n = 2)
	1	3	3	1		Untuk himpunan dengan 3 anggota (n = 3)
1	4	6	4	1		Untuk himpunan dengan 4 anggota (n = 4)
1	5	10	10	5	1	Untuk himpunan dengan 5 anggota (n = 5)
dst						dst

Contoh:

Tentukan banyaknya himpunan bagian dan tuliskan semua himpunan bagian dari himpunan-himpunan berikut

a. H = {h, i, a, t}

b. A = {1, 2, 3, 4, 5,}

Jawab:

Banyaknya himpunan bagian H = 16

Himpunan bagian dari H adalah { }, {h}, {i}, {a}, {t}, {h, i}, {h, a}, {h, t}, {i,a}, {i, t}, {a, t}, {h, i, a}, {h, i, t}, {h, a, t}, {i, a, t}, {h, i, a, t}

Banyaknya himpunan bagian A = 32

Himpunan bagian dari A adalah { }, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {3,4}, {3,5}, {4,5}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,2,5}, {1,3,4}, { 1,3,5}, {1,4,5}, {2,3,4}, {2,3,5}, {2,4,5}, {3,4,5}, {1,2,3,4}, {1,2,3,5}, {1,2,4,5}, {1,3,4,5}, {{2,3,4,5}, {1,2,3,4,5}

Segitiga pascal ini juga menyatakan banyak anggota dari masing-masing himpunan. Misalkan suatu himpunan yang memiliki 3 anggota maka himpunan bagiannya mengikuti segitiga pascal

1 2 2 1

Contoh:

Diketahui A= {x|2<x<12, x bilangan ganjil}, banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 anggota adalah...

Jawab:

A = {3, 5, 7, 9, 11}

n(A) = 5

Dalam segitiga pascal

1 5 10 10 5 1

Bisa diurutkan dari kiri merupakan himpunan bagian yang 0 anggotanya, berikutnya himpunan bagian yang anggotanya cuma satu, dan berikutnya himpunan anggota yang jumlah anggotanya 2 dan seterusnya

Jadi, himpunan bagian dari A yang memiliki dua anggota adalah 10

Himpunan Kuasa

Himpunan Kuasa (power set) himpunan A adalah himpunan-himpunan bagian dari A termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri, dilambangkan dengan P(A). Banyak anggota himpunan kuasa dari himpunan A dilambangkan dengan n(P(A)).

Contoh:

Jika B = {1, 2, 3} maka himpunan kuasanya adalah: {{ }, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}

Semoga bermanfaat :)